Chapitre 1 : Repérage dans le plan et configuration de base

 

I/ repérage dans le plan

 

1) repère orthonormé (O,I,J)

-(OI) est perpendiculaire à (OJ)

-OI = OJ = 1 unité

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) repère orthogonal

-(OI) est perpendiculaire à (OJ)

-OI n'est pas égal à OJ

 

3) repère oblique

-(OI) et (OJ) ne sont pas perpendiculaires

-OI peut être égal à OJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II/ milieu d'un segment

 

1) Coordonnées d'un point K milieu de [AB]

 

a) algorithme (sur algobox)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) cours

 

Soient les points A et B. Calculons les coordonnées du milieu K du segment [AB].

On considère les coordonnées des points A et B :

A(xa;ya) B (xb;yb)

Afin de trouver le milieu de [AB], on doit appliquer la formule suivante :

K=((xa+xb)÷2;(ya+yb)÷2)

Les coordonnées du point K sont (xk;yk)

 

À quoi çà sert ?

-démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

ABCD est un parallélogramme si ses diagonales [AC] et [BD] se croisent en leurs milieux.

 

Exemple :

Dans le repère (O,I,J), on considère :

A(-1;1) B(2;3) C(4;1) D(1;-1)

Démontrons que ABCD est un parallélogramme.

Démontrons que ses diagonales se croisent en leurs milieux.

-On calcule les coordonnées du milieu de [AC]

(xa+xc)÷2 = (-1+4)÷2 = 3/2

(ya+yc)÷2 = (1+1)÷2 = 1

-On calcule les coordonnées du milieu de [BD]

(xb+xd)÷2 = (2+1)÷2 = 3/2

(yb+yd)÷2 = (3+(-1))÷2 = 1

[AC] et [BD] ont le même milieu. Donc ABCD est un parallélogramme.

 

-calculer les coordonnées d'un symétrique

 

Exemple :

Dans le repère (O,I,J), on considère :

A(3;5) K(-1;2)

Calculons les coordonnées du point B symétrique à A par rapport à K.

K est le milieu de [AB]

K((xa+xb)÷2;(ya+yb)÷2)

-xk=(xa+xb)÷2

-1=(3+xb)÷2

-1x2=3+xb

-2-3=xb

xb=-5

-yk=(ya+yb)÷2

2=(5+yb)÷2

2x2=5+yb

4-5=yb

yb=-1

Donc les coordonnées du point B symétrique à A par rapport à K sont (-5;-1).

 

III/ distance dans le plan

 

1) sans coordonnées

 

Rappels :

 

-théorème de Pythagore

 

Si ABC est rectangle en A, alors

BC²=AB²+AC²

 

-théorème de Thalès

 

Si

D€AB

E€AC

(DE) est parallèle à (BC)

Alors

AB÷AD=AC÷AE=BC÷DE

 

-triangles et droites remarquables

 

la médiatrice :

 

-droite perpendiculaire à un segment passant par son milieu.

-se coupent au centre du cercle circonscrit.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

la hauteur :

 

-droite passant par un sommet perpendiculaire au côté opposé.

-se coupent à l'orthocentre du triangle.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

la bissectrice :

-droites séparant un angle en deux angles égaux.

-se coupent au centre du cercle inscrit du triangle.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

la médiane :

-droite passant par un somment et par le milieu du côté opposé.

-se coupent au centre de gravité du triangle.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Triangle rectangle : Le cercle du centre circonscrit est le milieu de l’hypoténuse

-Triangle isocèle : La hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice, bissectrice et médiane

-Triangle équilatéral : Médiatrices, bissectrices, hauteurs, médianes, centre des cercles inscrits et circonscrits sont confondus.

 

Calculer les coordonnées du centre de gravité d'un triangle dans un repère :

soient :

A(xa;ya) B(xb;yb) C(xc;yc)

G centre de gravité de ABC

G((xa+xb+xc)÷3;(ya+yb+yc)÷3)

 

b) dans un repère orthonormé

 

On utilise le théorème de Pythagore.

 

Soient :

A (xa;ya)

B (xb;yb)

AB = Racine carrée de (xb-xa)²+(yb-ya)²