I/ Loi de probabilité sur un ensemble fini

 

1) Expérience aléatoire

Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs issues possibles (événements élémentaires).

On note Ω l'ensemble de tous les événements élémentaires.

Ω = {W1, W2, W3 … Wn}

Ω s'appelle l'Univers.

 

2) Loi de probabilité

 

Définir une loi de probabilité sur Ω, c'est associer à chaque issue Wi un nombre positif Pi appelé probabilité de Wi (P(Wi)) de manière que P1+P2+P3… +Pn = 1

 

Remarque : dans le cas d'équiprobabilité, toutes les issues ont la même probabilité en l’occurrence Pi = 1÷n

 

3) Probabilité d'un événement

 

a) définition d'un événement

Un événement est une partie de Ω. L'événement impossible est Ø

 

b) probabilité d'un événement

Soit A un événement.

P(A) est la somme de chaque événement élémentaire composant A. On a 0 ≤ P(A) ≤ 1

On a P (Ω) = 1

p (Ø) = 0

 

c) cas d'équiprobabilité

P(A) = nombre d'issues composant A ÷ nombre d'issues totales composant Ω

 

II/ Opérations et tableaux

 

1) intersection et réunion d'événements

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A/\B = A « inter » B = l'événement A et B

AUB = A « union » B = l'événement A ou B

 

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A/\B)

 

2) les événements contraires

 

On note Ā « A barre » l'événement contraire de A, tout ce qui n'est pas dans A.

P(Ā) = 1-P(A)

 

3) tableau récapitulatif

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On remarque que Ā /\ B¯ est le contraire de AUB

 

Exemple : classe de 25 élèves. 7 filles. 18 font espagnol dont 5 filles.

 

On note A « l'élève étudie l'espagnol »

On note B « l'élève est une fille »

 

A | Ā | total

B | 5/25 | 2/25 | 7/25

B¯ | 13/25 | 5/25 | 18/25

total| 18/25 | 7/25 | 1

 

AUB : L'élève est une fille ou étudie l'espagnol

A /\ B¯ : l'élève est un garçon qui étudie l'espagnol

A /\ B : l'élève est une fille qui étudie l'espagnol

Ā /\ B : l'élève est une fille qui étudie l'allemand

 

III/ Tableaux et arbres

 

1) tableaux

 

un exemple : on lance 2 dés à 6 faces et on s'intéresse à la somme des 2 faces.

 

Quel est l'Univers ?

Ω = {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}

 

Compléter le tableau

 

somme – probabilité : 2 – 1/36, 3 – 2/36, 4 – 3/36, 5 – 4/36, 6 – 5/36, 7 – 6/36, 8 – 5/38, 9 – 4/36, 10 – 3/36, 11 – 2/36, 12 – 1/36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) arbres

 

On lance 3 fois une pièce