Maths 2nde Chapitre 6 :

 

Fonctions affines et tableaux de signes

 

I/ Fonctions affines

 

1) définitions

 

a) fonction linéaire

f est une fonction linéaire s'il existe existe un nombre a appartenant à |R tel que f(x) = a.x

 

Dans ce cas, u et f(u) sont proportionnels.

 

b) fonction affine

f est une fonction affine s'il existe a et b appartenant à |R tels que f(x) = a.x+b

 

Remarque : f(u)-f(v) est proportionnel à u-v

 

2) Représentation graphique

 

Si f est une fonction affine ou linéaire, sa courbe représentative est une droite.

 

Exemple : f(x) = 3x-2

x | 0 | 1

f(x) | -2 | 1

(il faut 2 points pour tracer une droite)

 

b correspond à l'ordonnée à l'origine, ici, -2

Point 1 (0;-2)

a correspond au coefficient directeur (ou à la pente)

Point 2 : (1;1) car on va 1 unité vers la droite et on monte de 3.

 

3) Savoir déterminer l'expression d'une fonction affine

 

a) un exemple

 

soient A (-1;3) B(2;5)

 

a=(yB-yA)÷(xB-xA)

a=(5-3)÷(2-(-1))

a= 2/3

 

donc f(x) = 2/3x+b

 

Si x = -1, f(x) = 3 (référence à l'un des points)

2/3×(-1)+b=3

-2/3+b=3

b=-2/3-3

b=-2/3-9/3

b=-11/3

 

Donc f(x) = 2/3x+11/3

 

b) cas général

 

soient A (xA;yA) B(xB;yB)

et f la fonction affine dont la courbe est la droite (AB)

f(xA) = yA

f(xB) = yB

 

-On calcule le coefficient directeur a :

a=(yB-yA)÷(xB-xA)

-Afin de déterminer B :

On pose f(x) = ax+b

On sait que f(xA)=a.xA+B=yA

Donc on a :

b=ya-a.xA

 

On peut aussi retenir f(x) = a(x-xA)+yA

 

II/ Sens de variations des fonctions affines

 

1) Pré-requis :

*règles sur les inégalités

-ajouter ou soustraire un nombre ou 2 membres d'une inégalité ne change pas le sens de l'inéquation.

-multiplier ou diviser les deux membres de l'inégalité ne change le sens de l'inéquation que si le nombre qui multiplie ou divise est strictement négatif.

*définition de fonction croissante et décroissante

-f est une fonction croissante sur un intervalle I si et seulement si f « conserve l'ordre » c'est-à-dire

Si u<v alors f(u)<f(v)

-f est une fonction décroissante sur un intervalle I si et seulement si f « inverse l'ordre » c'est-à-dire

Si u<v alors f(u)>f(v)

 

a) exemples

 

Soit f la fonction affine définie par f(x)=2x-3

On prend deux nombres :

u<v

x2

2u<2v

-3

2u-3<2v-3

donc f(u)<f(v)

 

b) cas général

 

théorème

soit f la fonction définie par f(x) = ax+b

si a>0 alors f est croissante

 

 

image fonction croissante

 

 

 

 

 

si a<0 alors f est décroissante

 

 

 

image fonction décroissante

 

 

 

 

 

preuve : soit u<v

si a>0

a.u<a.v

a.u+b<a.v+b

f(u)<f(v) donc f est croissante

 

si a<0

a.u>a.v

a.u+b>a.v+b

f(u)>f(v) donc f est décroissante

 

c) conséquence : signe de a.x+b

 

a.x+b = 0 : x = -b÷a

 

a>0 :

x | -b÷a

f(x) | - 0 +

 

a<0 :

x | -b÷a

f(x) | + 0 -

 

III/ signe d'un produit / quotient

 

1) signe d'un produit

 

Déterminer, dans un tableau, le signe de (2x+1)(x-3)

2x+1 = 0

x = -1/2

ou :

x-3 = 0

x = 3

 

On les place dans le bon ordre, du + petit au + grand :

 

x | -∞ -1/2 3 +∞

2x+1 | - 0 + : +

x-3 | - : - 0 +

facteur| + 0 - 0 +

 

Un – et un – font +

un + et un – font - …

 

Résoudre l'inéquation

(2x+1)(x-3) ≥ 0

S= ]-∞;-1/2]U[3;+∞[

 

On ne prend pas ∞ car on ne peut pas l'atteindre.

 

2) Signe d'un quotient

 

Déterminer dans un tableau le signe de

(1-3x)÷(x-4)

1-3x = 0

x = 1/3

et

x-4 ≠ 0

x ≠ 4 valeur interdite : se représente par 2 barres dans le tableau de signes