I/ Définition

 

Soient A et B deux points distincts du plan

 

 

 

 

 

 

 

 

La translation qui transforme A en B associe à tout point M le point N tel que ABMN soit un parallélogramme. À cette translation, on associe le vecteur → AB, qui symbolise le déplacement de A à B

 

A est l'origine du vecteur et B est son extrémité.

 

 

Remarque : dans le vecteur → AB, il y a :

-la direction (la droite (AB))

-le sens (de A vers B)

-la longueur (distance A B)

 

2) vecteurs égaux

 

 

→ AB = → MN si ABNM est un parallélogramme.

→ AB et → MN sont deux représentants du vecteur → u

 

3) avec des coordonnées

 

a) coordonnées d'un vecteurs

 

On dit que → u (x  y) si et seulement si M (x;y) avec → OM un représentant de → u

 

b) égalité de 2 vecteurs

 

Soient deux vecteurs : → u (x  y) → v (x'  y')

si x = x' et y = y' alors → u = → v

 

c) coordonnées d'un vecteurs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soient A(xA;yA) et B (xB;yB)

x → AB = xB-xA

y → AB = yB-yA

Donc → AB = (xB-xA  yB-yA)

 

 

Démonstration :

A (xA;yA) B(xB;yB)

Soit M (xM;yM) tel que → OM = → AB

OMBA est un parallélogramme.

[AM] et [OB] ont le même milieu.

 

(xA+xM)÷2   (O+xB)÷2

(yA+yM)÷2   (O+yB)÷2

 

xA+xM = xB

yA+yM = yB

 

xM = xB-xA

yM = yB-yA

 

II/ Somme de deux vecteurs

 

1) somme de deux vecteurs

 

a) définition

 

Soient → u et → v deux vecteurs 

→ u = (2  3) et → v = (3  -1)

Soit A un point du plan

 

Construire B, image de A par la translation du vecteur → u

Construire C, image de B par la translation du vecteur → v

 

La translation qui à A associe C est la translation du vecteur → u + → v.

→ AB + → BC = → AC est appelé relation de Chasles.

 

b) règle du parallélogramme

 

Soit O un point du plan

 

Construire P tel que → OP = → u

Construire Q tel que → OQ = → v

Construire S tel que OPSQ soit un parallélogramme

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) avec des coordonnées

 

 

si → u (x  y) et → v (x'  y') alors → u + → v = (x+x'  y+y')

 

2) soustraction de deux vecteurs

 

 

a) vecteur nul

 

 

La translation du vecteur nul transforme A en A. On note → o le vecteur nul. On a → o (0  0) = → AA

 

 

b) vecteur opposé

 

 

si → u = → AB alors → -u = → BA. Même direction, même longueur, sens inversé. → u + → -u = 0

si → u (x  y) alors → -u (-x  -y)

 

 

c) soustraction de deux vecteurs

 

→ u - → v = → u + (→ -v)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III/ savoir résoudre des problèmes

 

 

1) Savoir démontrer que ABCD est un parallélogramme

 

 

Soient A(-2;1) B(2;2) C(7;0) D(3;-1)

ABCD est-il un parallélogramme ?

 

 

-On calcule → AB (2-(-2)  2-1)

Donc → AB (4  1)

-On calcule → DC (7-3  0-(-1))

Donc → DC (4  1)

→ AB = → DC donc ABCD est un parallélogramme

 

 

2) Savoir déterminer les coordonnées d'un point pour avoir un parallélogramme

 

 

Soient A (2;1)  B(-3;4) C(5;-2)

Quelles sont les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme ?

 

-On pose D (x;y)

-On calcule → AB (-3-2  4-1)

-On calcule → DC (5-x  2-y)

 

On a → AB = → DC

Donc,

-5 = 5-x

3 = -2-y

 

x=10

y=-5

 

Donc D(10;-5)